Problem srednjovjekovnog matematičara Leonarda Fibonaccija o zečevima

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 03:58

Izračunajte kakvo će potomstvo dati par životinja do početka sljedeće godine.

Leonardo Fibonacci bio je izvanredan srednjovjekovni matematičar. Vjeruje se da je upravo on uveo arapske brojeve u upotrebu. U knjizi The Book of the Abacus, djelu koje izlaže i promiče decimalnu aritmetiku, Fibonacci daje svoj poznati problem o zečevima. Pokušajte to riješiti.

Početkom siječnja par novorođenih zečeva (mužjak i ženka) stavljen je u tor, ograđen sa svih strana. Koliko će pari kunića proizvesti do početka sljedeće godine? Potrebno je uzeti u obzir sljedeće uvjete:

• Kunići dostižu spolnu zrelost dva mjeseca nakon rođenja, odnosno do početka trećeg mjeseca života.
• Početkom svakog mjeseca svaki spolno zreo par rađa samo jedan par.
• Životinje se uvijek rađaju u paru "jedna ženka + jedan mužjak".
• Zečevi su besmrtni, grabežljivci ih ne mogu jesti.

Pogledajmo kako raste broj zečeva u prvih šest mjeseci:

1. mjesec. Jedan par mladih zečeva.

2. mjesec. Još uvijek postoji jedan originalni par. Kunići još nisu dosegli dob za rađanje.

3. mjesec. Dva para: originalni, koji je navršio fertilnu dob + par mladih kunića koje je rodila.

4. mjesec. Tri para: jedan originalni par + jedan par kunića koje je okotila početkom mjeseca + jedan par kunića koji su rođeni u trećem mjesecu, ali još nisu ušli u pubertet.

5. mjesec. Pet parova: jedan izvorni par + jedan par rođen u trećem mjesecu i u fertilnoj dobi + dva nova para koja su rodili + jedan par koji je rođen u četvrtom mjesecu, ali još nije dostigao zrelost.

6. mjesec. Osam parova: pet parova od prošlog mjeseca + tri novorođena para. itd.

Da bi bilo jasnije, upišimo primljene podatke u tablicu:

Ako pažljivo proučite tablicu, možete identificirati sljedeći uzorak. Svaki put broj zečeva prisutnih u n-om mjesecu jednak je broju zečeva u (n - 1)-om prethodnom mjesecu, zbrojeno s brojem novorođenih kunića. Njihov je broj, pak, jednak ukupnom broju životinja od (n - 2) mjeseca (što je bilo prije dva mjeseca). Odavde možete izvesti formulu:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, gdje je F - ukupan broj parova kunića u n-om mjesecu, F_{n - 1} je ukupan broj parova zečeva u prethodnom mjesecu, a F_{n - 2} - ukupan broj parova kunića prije dva mjeseca.

Izbrojimo broj životinja u sljedećim mjesecima koristeći ga:

7. mjesec. 8 + 5 = 13.

8. mjesec. 13 + 8 = 21.

9. mjesec. 21 + 13 = 34.

10. mjesec. 34 +21 = 55.

11. mjesec. 55 + 34 = 89.

12. mjesec. 89 + 55 = 144.

13. mjesec (početak sljedeće godine). 144 + 89 = 233.

Početkom 13. mjeseca, odnosno krajem godine imat ćemo 233 para kunića. Od toga će 144 biti odraslih, a 89 mladih. Rezultirajući niz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 naziva se Fibonaccijevi brojevi. U njemu je svaki novi konačni broj jednak zbroju dva prethodna.

Prikaži odgovor Sakrij odgovor