Gola statistika je najzanimljivija knjiga o najdosadnijoj znanosti

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 03:58

Tko je rekao da je statistika dosadna i beskorisna znanost? Charles Wheelan uvjerljivo tvrdi da je to daleko od slučaja. Danas objavljujemo ulomak iz njegove knjige o tome kako osvojiti auto, a ne kozu, koristeći statistiku, i shvatiti da vas intuicija može zavesti.

Zagonetka Monty Halla

Misterij Monty Halla poznati je problem u teoriji vjerojatnosti koji je zbunio sudionike u igrici pod nazivom Let’s Make a Deal, još uvijek popularnoj u nekoliko zemalja, koja je premijerno prikazana u Sjedinjenim Državama 1963. godine. (Sjećam se svaki put kada sam u djetinjstvu gledao ovu emisiju, kada zbog bolesti nisam išao u školu.) Već sam u uvodu knjige istaknuo da ova igrana emisija može biti zanimljiva statističarima. Na kraju svakog izdanja, sudionik koji je stigao u finale stajao je s Monty Hallom ispred tri velika vrata: vrata br. 1, vrata br. 2 i vrata br. 3. Monty Hall je finalistu objasnio da iza jednog od tih vrata bila je vrlo vrijedna nagrada - na primjer novi auto i koza iza druga dva. Finalist je morao odabrati jedna od vrata i dobiti ono što je iza njih. (Ne znam je li među sudionicima emisije bila barem jedna osoba koja je htjela dobiti kozu, ali radi jednostavnosti pretpostavit ćemo da je velika većina sudionika sanjala o novom autu.)

Početnu vjerojatnost pobjede prilično je lako odrediti. Ima troja vrata, dva kriju kozu, a treća auto. Kada sudionik showa stane ispred ovih vrata s Montyjem Hallom, ima jednu od tri šanse da odabere vrata iza kojih se nalazi automobil. No, kao što je gore navedeno, postoji kvaka u Let’s Make a Deal koja je ovjekovječila ovaj TV program i njegovog voditelja u literaturi o teoriji vjerojatnosti. Nakon što finalist showa pokaže na jedna od troja vrata, Monty Hall otvara jedna od dva preostala vrata iza kojih se uvijek nalazi koza. Zatim Monty Hall pita finalista želi li se predomisliti, odnosno napustiti prethodno odabrana zatvorena vrata u korist drugih zatvorenih vrata.

Recimo, primjera radi, da je sudionik pokazao na vrata br. 1. Zatim je Monty Hall otvorio vrata br. 3, iza kojih se skrivala koza. Dvoja vrata, Vrata #1 i Vrata #2, ostaju zatvorena. Da je vrijedna nagrada bila iza vrata broj 1, finalist bi je osvojio, a da je bila iza vrata broj 2, onda bi izgubio. U ovom trenutku Monty Hall pita igrača želi li promijeniti svoj početni izbor (u ovom slučaju, napustiti vrata br. 1 u korist vrata br. 2). Sjetit ćete se, naravno, da su oba vrata još uvijek zatvorena. Jedina nova informacija koju je sudionik dobio je da je koza završila iza jednog od dvaju vrata koja nije odabrao.

Treba li finalist odustati od početnog izbora u korist Vrata # 2?

Odgovaram: da, trebalo bi. Ako ostane pri izvornom izboru, tada će vjerojatnost osvajanja vrijedne nagrade biti ⅓; ako se predomisli i pokaže na Vrata br. 2, tada će vjerojatnost osvajanja vrijedne nagrade biti ⅔. Ako mi ne vjerujete, čitajte dalje.

Priznajem da je ovaj odgovor na prvi pogled daleko od očitog. Čini se da koja god od preostala dva vrata finalist odabere, vjerojatnost dobivanja vrijedne nagrade u oba slučaja je ⅓. Troja su zatvorena vrata. Isprva, vjerojatnost da se iza bilo kojeg od njih krije vrijedna nagrada je ⅓. Ima li ikakvu razliku odluka finalista da promijeni svoj izbor u korist drugih zatvorenih vrata?

Naravno, budući da je kvaka u tome što Monty Hall zna što je iza svih vrata. Ako finalist odabere Vrata # 1 i iza njih se doista nalazi automobil, Monty Hall može otvoriti ili Vrata # 2 ili Vrata # 3 kako bi otkrio kozu koja vreba iza njih.

Ako finalist odabere vrata 1, a automobil je iza vrata 2, tada će Monty Hall otvoriti vrata 3.

Ako finalist pokaže na vrata 1, a automobil je iza vrata 3, tada će Monty Hall otvoriti vrata 2.

Promjenom mišljenja nakon što voditelj otvori jedna od vrata, finalist dobiva prednost odabira dvoja umjesto jednih. Pokušat ću vas uvjeriti u ispravnost ove analize na tri različita načina.

Prvi je empirijski. Godine 2008. kolumnist New York Timesa John Tyerney pisao je o fenomenu Monty Halla. Nakon toga, osoblje publikacije razvilo je interaktivni program koji vam omogućuje da igrate ovu igru i samostalno odlučite hoćete li promijeniti svoj početni izbor ili ne. (Program čak predviđa i male koze i autiće koji se pojavljuju iza vrata.) Program bilježi vaše dobitke u slučaju da promijenite svoj početni izbor, te u slučaju kada ostanete neuvjereni. Platio sam jednoj od mojih kćeri da igra ovu igru 100 puta, mijenjajući svaki put njezin izvorni izbor. Platio sam i njezinu bratu da igra igru 100 puta, svaki put zadržavajući prvobitnu odluku. Kći je pobijedila 72 puta; njezin brat 33 puta. Svaki trud nagrađen je s dva dolara.

Dokazi iz epizoda igre Let’s Make a Deal pokazuju isti obrazac. Prema Leonardu Mlodinovu, autoru knjige The Drunkard's Walk, oni finalisti koji su promijenili svoj početni izbor imali su otprilike dvostruko veće izglede za pobjedu od onih koji nisu bili uvjereni.

Moje drugo objašnjenje za ovaj fenomen temelji se na intuiciji. Recimo da su se malo promijenila pravila igre. Na primjer, finalist počinje odabirom jedne od tri vrata: Vrata # 1, Vrata # 2 i Vrata # 3, kako je prvobitno planirano. Međutim, onda, prije nego što otvori bilo koja od vrata, iza kojih se krije koza, Monty Hall pita: "Slažete li se odustati od svog izbora u zamjenu za otvaranje dva preostala vrata?" Dakle, ako ste odabrali Vrata #1, možete se predomisliti u korist Vrata #2 i Vrata #3. Ako ste prvo pokazali na Vrata #3, možete odabrati Vrata #1 i Vrata #2. I tako dalje.

To vam ne bi bila osobito teška odluka: sasvim je očito da biste trebali odustati od početnog izbora u korist dva preostala vrata, jer to povećava šanse za pobjedu s ⅓ na ⅔. Najzanimljivije je da vam upravo to, u biti, nudi Monty Hall u pravoj igri, nakon što otvori vrata iza kojih se krije koza. Temeljna je činjenica da kad bi vam se pružila mogućnost izbora dvoja vrata, ionako bi se iza jednog od njih skrivala koza. Kada Monty Hall otvori vrata iza kojih se nalazi koza, pa vas tek tada pita pristajete li na promjenu prvobitnog izbora, to vam značajno povećava šanse za osvajanje vrijedne nagrade! U osnovi, Monty Hall vam govori: "Šanse da se vrijedna nagrada krije iza jednog od dva vrata koja niste odabrali prvi put su ⅔, što je još uvijek više od ⅓!"

Možete to zamisliti ovako. Recimo da ste pokazali na Vrata #1. Nakon toga, Monty Hall vam daje priliku da odustanete od prvobitne odluke u korist Vrata #2 i Vrata #3. Slažete se i imate dvoja vrata na raspolaganju, što znači da imate svaki razlog očekuje da ćete osvojiti vrijednu nagradu s vjerojatnošću od ⅔, a ne ⅓. Što bi se dogodilo da je u ovom trenutku Monty Hall otvorio vrata 3 - jedna od "vaših" vrata - a iza njih je bila koza? Bi li ova činjenica poljuljala vaše povjerenje u vašu odluku? Naravno da ne. Da se auto skriva iza vrata 3, Monty Hall bi otvorio vrata 2! Ne bi ti ništa pokazao.

Kada se igra igra prema scenariju za isključivanje, Monty Hall vam stvarno daje izbor između vrata koja ste naveli na početku i dva preostala vrata, od kojih bi jedno moglo biti automobil. Kada Monty Hall otvori vrata iza kojih se krije koza, jednostavno vam čini uslugu pokazujući koja od druga dva vrata nisu auto. Imate iste vjerojatnosti pobjede u oba sljedeća scenarija.

Odabir vrata br. 1, zatim prihvaćanje "prebacivanja" na vrata br. 2 i vrata br. 3 čak i prije nego što se bilo koja vrata otvore.
Odabirom Vrata #1, zatim pristanak na "prelazak" na Vrata #2 nakon što vam Monty Hall pokaže kozu iza Vrata #3 (ili odabirom Vrata #3 nakon što vam Monty Hall pokaže kozu iza Vrata #2).

U oba slučaja, odustajanje od prvotne odluke daje vam prednost dvoja vrata u odnosu na jedna, i tako možete udvostručiti svoje šanse za pobjedu od ⅓ do ⅔.

Moja treća opcija je radikalnija verzija iste osnovne intuicije. Recimo da Monty Hall od vas traži da odaberete jedno od 100 vrata (umjesto jedno od tri). Nakon što to učinite, recimo pokazujući na vrata #47, on otvara 98 preostalih vrata, koja će otkriti koze. Sada su samo dva vrata ostala zatvorena: vaša vrata br. 47 i druga, na primjer, vrata br. 61. Trebate li odustati od svog prvobitnog izbora?

Naravno da! Postoji 99-postotna šansa da se automobil nalazi iza jednih od vrata koja isprva niste odabrali. Monty Hall vam je učinio ljubaznost otvorivši 98 ovih vrata, iza njih nije bilo automobila. Dakle, postoji samo 1 na 100 šansa da će vaš početni izbor (vrata br. 47) biti točan. Istodobno, postoji 99 od 100 šanse da je vaš početni izbor bio pogrešan. Ako je tako, onda se auto nalazi iza preostalih vrata, odnosno vrata broj 61. Ako želite igrati s vjerojatnošću da dobijete 99 puta od 100, onda biste trebali "prebaciti" na vrata broj 61.

Ukratko, ako ikada budete morali igrati Let’s Make a Deal, sigurno ćete morati povući svoju prvobitnu odluku kada vam Monty Hall (ili tko god će ga zamijeniti) da izbor. Univerzalniji zaključak iz ovog primjera je da vas vaša intuitivna nagađanja o vjerojatnosti određenih događaja ponekad mogu dovesti u zabludu.